數學王子－高斯

今天是數學王子－高斯逝世紀念日，一起來目睹數學家的風采吧！

　　歷史上間或出現神童，神童常常出現在數學、音樂、棋藝等方面，而卡爾．弗雷德里希．高斯這位數學神童，是各式各樣天才裡最出色的一個。如同獅子號稱萬獸之王，高斯在數學家之林中稱王，他有一個美號——數學王子。高斯不僅被公認為是19世紀最偉大的數學家，更與阿基米德、牛頓並稱為歷史上三個最偉大的數學家。現在，阿基米德和牛頓的名字早已進入了中學的教科書，他們的成就或多或少成為大眾常識，而高斯和他的數學仍遙不可及，甚至於大學的基礎課程中也很少出現。但高斯的肖像畫卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德國紙幣上，直到2002年馬克被歐元取代。

　　1777 年4月30日，高斯出生在漢諾威公國（今下薩克森州）的布朗斯威克市郊外（現屬市區）。當時德意志民族仍未統一，除了漢諾威，尚有奧地利、普魯士、巴伐利亞等邦國。在高斯的祖先裡，沒有一個人可以說明為什麼會誕生高斯這樣偉大的天才；他的父親是個普通的勞動者，做過石匠、縴夫、花農，母親是他父親的第二個妻子，做過女僕，沒受過什麼教育。她甚至忘了獨生兒子高斯的生日，只記得是星期三，耶穌升天節（The Feast of the Ascension）前8天，高斯後來自己把它推算出來。但高斯的母親聰明善良，富有幽默感，並且個性很堅強，最後以97歲高齡仙逝。

　　據說，高斯2歲時就發現父親賬簿上的一處錯誤；9歲那年，他在公立小學念書，一次老師為了讓學生們有事情做，讓他們把從1到100這些整數加起來，高斯幾乎立刻就把寫好結果的石板，面朝下放在自己的課桌上。當所有的石板都被翻開之後，這位老師驚訝地發現只有高斯得出了正確答案：5050，但是沒有任何演算過程。事實上，高斯已經在腦子裡對這個算術級數求了和，他注意到了1+100=101、2+99=101、3+98=101⋯⋯等等50對數，從而答案是50×101或5050。高斯在晚年常幽默地宣稱，在他會說話之前就會計算，還說他問了大人字母如何發音，就自己學著讀起書來。

　　高斯的早熟引起了布朗斯威克公爵費迪南（Charles II William Ferdinand）的注意，這位公爵的名字也叫卡爾，是個熱心腸且始終如一的贊助人。高斯14歲進卡洛琳學院（Collegium Carolinum，現為BraunschweigUniversity of Technology，即布朗斯威克技術大學），18歲入哥廷根大學（University of Göttingen）。當時的哥廷根大學仍默默無聞，事實上，它創辦不到60年，由於高斯的到來，才使得這所日後享譽世界的大學變得重要起來。起初，高斯在成為語言學家抑或數學家之間猶豫不決，他決心獻身數學是 1796年3月30日的事了。當他差一個月滿19歲時，他對正多邊形的歐幾里德作圖理論（只用圓規和沒有刻度的直尺）做出了驚人的貢獻，發現了它與費馬質數之間的祕密關係。最特別的，他提出了作正十七邊形的方法，這是一個有著2,000多年歷史的數學懸案。

　　那一年，可謂是高斯奇蹟年，就在他發現正十七邊形作圖理論 9天以後，即4月8日，他發展了同餘理論，首次證明了二次互反律，這樣就徹底解決了二次同餘方程的可解性判斷問題。5月31日，高斯提出了後人稱為質數定理的猜想，亦即不超過 x 的質數個數為x / logx，這個猜想直到100年後才被證明;又過了50年，兩個用初等方法證明它的其中一人，因此獲得了菲爾茲獎。7月10日，高斯證明了費馬提出的三角形數猜想。10月1日，他發表了有限域裡一個多項式方程解數問題的研究，導致一個半世紀後法國數學家韋伊（André Weil）提出了他的著名猜想……

｜文章節錄：《難以企及的人物：數學天空的閃爍群星》／華滋出版
｜圖片來源：停止流通的德國馬克，鈔面上為高斯像